作者：張晏瑞 / 臺灣大學IBM量子電腦中心研究助理
量子變分電路(VQE, Variational Quantum Eigensolver)是量子計算領域中的一項重要技術，尤其在解決特定類型的優化問題和量子模擬問題上展示了巨大潛力。VQE結合了量子計算和古典計算的優勢，對於量子化學計算、材料科學和其他科學領域的研究具有重要意義，此文將會說明如何建立量子電路來達到量子計算優勢。
發展歷程及應用
自從VQE算法首次被提出以來，它就因其在量子化學計算中的應用而受到廣泛關注。量子化學是研究分子和化學反應的量子力學性質的科學，通過VQE，研究人員可以有效地模擬分子的電子結構，這在古典電腦上是非常困難的。隨著時間的推移，研究者不斷改進VQE算法，增強其效率和準確性，擴展其在其他領域的應用。
- 量子化學：VQE最初被用於量子化學計算，幫助科學家計算分子的基態能量，從而深入了解分子結構和化學反應。
- 材料科學：通過模擬材料的量子性質，VQE可用於探索新材料的性質，例如高溫超導體和新型半導體材料。
- 優化問題：VQE也被應用於解決各種優化問題，包括旅行商問題和圖形最優化問題，這對於物流、金融和許多其他領域都非常重要。
基礎簡介
VQE是一種混合量子古典算法，旨在利用量子電腦的優勢來求解特定問題的基態能量（即系統的最低能量態）。它通過古典優化器優化一組參數，這些參數控制量子電路的行為，而量子電路則用於準確估算給定參數下的能量。這種方法特別適用於當前的NISQ（Noisy Intermediate-Scale Quantum）量子電腦，因為它可以有效地減少對錯誤更正的需求。
操作簡介
VQE是一種混合算法，可以利用量子電腦的優勢來求解分子體系的基態能量和其他特性。它基於變分原理，特別是雷利-里茲功能（Rayleigh-Ritz functional），其優化了對於試探波函數可觀測量的最低可能期望值的上界。
1.原理
給定一個哈密頓量\(\hat{H}\)，和一個試探波函數\(|\left.\ \psi\right\rangle\)與此哈密頓量相關聯的基態能量 \(E_0\) 被限制在以下範圍內：
\(E_0\le\frac{\left\langle\psi\right.|\hat{H}|\left.\ \psi\right\rangle}{\left\langle\psi\right.|\left.\ \psi\right\rangle}\)
Figure 1 能階表示圖from qiskit
VQE的目標因此是找到\(|\left.\ \psi(\theta)\right\rangle\)的一個參數化波函數，使得哈密頓量的期望值最小化，這個期望值形成了基態能量的上界。在VQE中，這個參數化波函數被稱為「ansatz」，它是一個猜想的波函數，其形式要能夠容易地在量子電腦上表示和操作。數學上，我們的目標是找到對應於最低本徵值 \(E_0\)的哈密頓算符 \(\hat{H}\)的本徵向量 \(|\left.\ \psi\right\rangle\)的一個近似。這個ansatz的參數由一個古典優化器來調整，目的是最小化哈密頓量的期望值，從而逼近系統的基態能量。
2.實現
為了將這個最小化任務轉化為一個可以在量子電腦上執行的問題，我們必須首先製備一個ansatz波函數，它可以作為一系列量子邏輯閘在量子設備上實現。考慮到我們在量子電腦上只能進行么正運算作或測量，我們通過使用參數化的么正運算來實現這一點。因此，我們表示 \(|\left.\ \psi\right\rangle\) 為對一個初始態 \({|\left.\ 0\right\rangle}^{\bigotimes N}\)(簡寫為 \(|\left.\ 0\right\rangle\)) 應用一個通用的參數化么正運算 \(U(\theta)\) ，其中 \(\theta\)表示一組參數值在 \(-\pi\le\theta<\pi\) 。我們現在可以將VQE優化問題可表示為最小化下列成本函數：
\(E_{VQE}={min}_\theta\left\langle0\right.\left|U^\dagger\left(\theta\right)\right|\hat{H}\left|U\left(\theta\right)\right|\left.\ 0\right\rangle\)
哈密頓算符 \(\hat{H}\)被表示為一系列旋轉算符（Pauli算符）的加權和。這可以表示為：
\(\hat{H}=\sum_{i}^{P}{c_i{\hat{P}}_i}\)
- 其中， \(c_i\)是一組權重， \({\hat{P}}_i\)是Pauli算符。
Figure 2 VQE流程示意圖(from qiskit)
3.優化
VQE的優化問題被定義為：
\(E_{VQE}={min}_\theta\sum_{i}^{P}c_i\left\langle0\right.\left|U^\dagger\left(\theta\right)\right|\widehat{P_i}|U\left(\theta\right)|\left.\ 0\right\rangle\)
每一項 \(E_{Pi}={min}_\theta\left\langle0\right.\left|U^\dagger\left(\theta\right)\right|\widehat{P_i}|U\left(\theta\right)|\left.\ 0\right\rangle\)對應於Pauli算符 \({\hat{P}}_i\) 的期望值，可以在量子裝置上計算。得到能量期望值後，VQE使用古典電腦上的優化算法來調整量子電路的參數\(\theta\)，目的是最小化能量期望值。這一過程涉及到反復地在量子電腦上執行量子電路並在古典電腦上進行參數更新，直到找到能量的最小值。
VQE量子電路設計流程
量子電路的建構目標，在VQE算法的前文介紹中，主要是為了找到一個物理系統的基態能量，即該系統最低可能能量狀態的能量。這個目標涉及到以下幾個關鍵點：
1.模擬物理系統
VQE算法使用量子電路來模擬目標物理系統的行為。這種模擬是通過量子邏輯閘操作量子位元來實現的，這些操作能夠模仿系統的量子力學性質。量子電路的設計必須能夠準確地反映出系統哈密頓量（能量算符）的特徵。
2.參數化量子態的準備
量子電路的構建目的之一是準備一個參數化的量子態，這個態是由一系列可調整的參數\(\theta\)控制的。這些參數的初始選擇不需要非常精確，因為VQE算法會透過古典優化過程來調整這些參數，以使得量子態接近系統的基態。
3.能量期望值的計算
量子電路的另一個目的是能夠計算出在給定參數化量子態下，系統哈密頓量的期望值。這個期望值給出了在當前量子態下系統可能達到的能量，VQE算法的目標是最小化這個期望值，從而接近系統的基態能量。
4.參數的優化
通過古典電腦上的優化算法，VQE尋求找到一組最優參數\(\theta^\ast\)，使得量子電路準備的量子態對應的能量期望值最小。這一過程涉及到反覆地在量子電腦上執行量子電路和在古典電腦上調整參數，直到達到一個收斂標準。
這個過程突出了VQE的混合本質：它利用量子電腦來計算量子態的能量期望值，同時使用古典計算來執行參數優化。通過這種方式，VQE不僅能夠逼近量子系統的基態能量，而且還體現了量子和古典計算的協同優勢。
結語
VQE的啟發來自於對量子電腦在解決特定問題上的潛力的認識。它特別適合於當前的NISQ（噪聲中等尺度量子）設備，這類設備的量子位元數有限，並且存在錯誤率較高的問題。VQE能夠有效地利用這些設備的計算資源，同時降低了對錯誤更正需求的依賴。這使VQE成為在當前量子計算發展階段一個非常重要的演算法。隨著量子硬體的發展，VQE及其變體有潛力解決更多複雜的科學和工程問題。
在下一期，我們將介紹如何利用VQE來解決實際問題，介紹一些具體的例子，說明如何使用VQE來解決這些實際問題，也還將討論VQE的優勢和局限性。
參考
1. https://qiskit.org/